Laurea magistrale in Mathematics

Mathematical finance

Codice insegnamento
4S001109
Docente
Luca Di Persio
Coordinatore
Luca Di Persio
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/06 - PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA
Lingua di erogazione
Inglese
Periodo
I semestre dal 1-ott-2019 al 31-gen-2020.

Orario lezioni

Vai all'orario delle lezioni

Obiettivi formativi

Il corso di Mathematical Finance per la Laurea Magistrale internazionalizzata (erogata completamente in lingua Inglese) si propone di introdurre i principali concetti del calcolo stocastico a tempo discreto e continuo nell'ambito della moderna teoria dei mercati finanziari. In particolare lo scopo fondamentale del corso è quello di fornire gli strumenti matematici propri del setting del calcolo stocastico di Itȏ per la determinazione, lo studio e l'analisi di modelli per azioni e/o tassi d'interesse determinati da equazioni differenziali stocastiche con rumore Browniano. Ingredienti fondamentali sono le basi della teoria delle martingale a tempo continuo, i teoremi Girsanov e Feynman–Kac e le loro applicazioni alla teoria dell'option pricing con specifici esempi in ambito azionario, ivi comprendendo modelli di tipo path-dependent, e nell'ambito dei modelli per tassi d'interesse. Grande attenzione verrà posta anche agli aspetti caratterizzanti l'applicazione concreta dei suddetti concetti nella pratica del risk modelling/management e del pricing, con l'aiuto di soluzioni informatiche e lezioni arricchite da simulazioni al calcolatore. E' importante sottolineare come l'insegnamento di Sistemi Stocastici sia organizzato in modo tale che gli studenti possano concretamente completare ed ulteriormente sviluppare le proprie: ° abilità nello stabilire collegamenti profondi con discipline non matematiche, sia in termini di motivazione della ricerca matematica che di ricadute applicative dei risultati di tali indagini; ° specifiche competenze computazionali ed informatiche; ° abilità di comprensione di testi, anche avanzati, di Matematica in generale e Matematica applicata in particolare; ° capacità di sviluppare modelli matematici per le scienze fisiche e naturali, essendo al contempo in grado di analizzarne i limiti e l'effettiva applicabilità, anche da un punto di vista computazionale; ° competenze atte allo sviluppo di opportuni modelli matematici e statistici per l’economia e per i mercati finanziari; ° capacità di estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi; ° conoscenze di linguaggi di programmazione o software specifici.

Programma

[1] Analisi stocastica: basi

Nozioni di base sui processi stocastici
Processi stocastici: principali esempi in tempo discreto e continuo
Integrazione stocastica
Il lemma di Itô-Döblin
SDE: introduzione ed esempi (ad esempio: caso lineare, caso disturbo multiplicativo)
Soluzione di SDE come processi di Markov
Formula di Feynman-Kac
Teorema di Girsanov
Controllo stocastico: introduzione ed esempi (ad esempio: principio di programmazione dinamica, principio del massimo di Pontryagin)

[2] Modelli a tempo discreto
Opzioni, processo di valore, strategie di copertura, completezza, arbitraggio
Teoremi fondamentali dell' Asset Pricing (in tempo discreto)
Alberi binomiali
Camminata casuale e prezzi
Formula di Balck e Scholes (derivata dall'analisi degli alberi binomiali)

[3] Moto Browniano (MB)
Principali proprietà del MB: filtrazione generata da MB, proprietà martingale, variazione quadratica, volatilità, proprietà di riflessione, ecc.

[4] Modelli a tempo continuo
Equazione di Black-Scholes-Merton
Evoluzione del portafoglio / valori delle opzioni
Analisi di sensibilità (greche)
L'approccio Martingala
Strategie di copertura e replica
Modelli di mercato azionario
Paradosso di Siegel
Pacchetti ed opzioni esotiche


[5] Modelli di tassi d'interesse
Modelli Markoviani per tassi a breve
Modello di Merton
Tasso di interesse stocastico per il modello di Black e Scholes
Portafoglio di copertura
Cambio di numeraire (anche in presenza di più fonti di rischio)
Caps,floors, collars
Modelli per la dinamica dei tassi di interesse
Modello di Vasicek
Modello di Cox-Ingersoll-Ross
Modellistica dei tassi a termine
Modelli di arbitraggio per struttura a termine
Struttura di Heath-Jarrow-Morton
Estensione Hull-White del modello di Vasicek

[6] Scelta del portafoglio e prezzi delle attività
Modelli di Bachelier e Samuelson
Funzioni di utilità
Il problema di Merton (valore e approccio alla programmazione statica)
Problema di massimizzazione dell'utilità

[7] Miscellanea
Valutazione delle opzioni nei modelli Gaussiani
Forward LIBORs
Modellistica dei tassi di swap
Approccio Mean Field Games ai sistemi di agenti finanziari interagenti
Calibrazione per modelli di tassi di interesse
Controllo stocastico e modelli finanziari (ad esempio: il caso del modello Heston)
Modelli a volatilità stocastica ed applicazioni
Espansioni (polinomiali, asintotiche) per modelli finanziari
EDS su reti con applicazioni in finanza

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
I. Karatzas and S. Shreve Brownian motion and stochastic calculus  
R. Cont, P. Tankov Financial Modelling With Jump Processes Chapman and Hall, CRC Press 2003
D. Lamberton and B. Lapeyre Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance  
A. F. McNeil, R. Frey, P. Embrechts Quantitative Risk Management:Concepts, Techniques and Tools Princeton University Press 2015
S. E. Shreve Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models Springer, New York 2004
S. E. Shreve Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model Springer, New York 2004

Modalità d'esame

Esame orale con esercizi scritti:
l'esame è basato su domande a risposta aperta e sulla discussione di esercizi da svolgere per iscritto nel corso della prova. Le domande, aperte ed esercizi, mirano alla verifica delle conoscenze relative agli argomenti sviluppati nel programma del corso, nonché alla risoluzione di problemi concreti propri della Finanza Matematica, ed alla acquisita conoscenza degli associati strumenti di modellazione stocastica.





© 2002 - 2019  Università degli studi di Verona
Via dell'Artigliere 8, 37129 Verona  |  P. I.V.A. 01541040232  |  C. FISCALE 93009870234