Laurea magistrale in Mathematics

Optimization

Codice insegnamento
4S001106
Docente
Antonio Marigonda
Coordinatore
Antonio Marigonda
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Lingua di erogazione
Inglese
Periodo
I semestre dal 1-ott-2019 al 31-gen-2020.

Orario lezioni

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti un'introduzione all'analisi convessa in spazi di dimensione finita ed infinita, e alle applicazioni a problemi di ottimizzazione (non lineari) e teoria del controllo per lo più derivanti da modelli fisici ed economici. Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di essere in grado di: - comprendere i legami tra questo e gli insegnamenti precedenti (in particolare Functional Analysis); - saper utilizzare i principali strumenti dell'analisi convessa per la risoluzione di problemi di ottimizzazione convessa; - saper formalizzare e analizzare, inquadrandoli all'interno della teoria, semplici sistemi di controllo provenienti da modelli fisici ed economici; - saper utilizzare in autonomia i testi consigliati per il corso.

Programma

Contenuti del corso
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- Richiami su topologie deboli su spazi di Banach: insiemi convessi, funzionale di Minkowski, operatori lineari e continui, topologie deboli, separazione di insiemi convessi.

- Funzioni convesse: generalità, funzioni convesse semicontinue inferiormente, funzioni coniugate, sottodifferenziale nel senso dell'analisi convessa. Cenni di Calcolo delle Variazioni.

- Generalizzazione della convessità: calcolo differenziale negli spazi di Hilbert e di Banach: sottodifferenziale prossimale e limiting, il teorema di densità, regola della somma e della catena, gradiente generalizzato in uno spazio di Banach.

- Cenni di teoria del controllo: multifunzioni e traiettorie di inclusioni differenziali, viabilità, equilibri, invarianza, stabilizzazione, raggiungibilità, il principio del massimo di Pontryagin, condizioni necessarie per l'ottimalità.

- Applicazioni a problemi di ottimizzazione derivanti da modelli fisici ed economici.

Il corso è articolato in 5 CFU di teoria, per un totale di 40 ore, che verranno erogate come lezione frontale,
e 1 CFU di esercitazioni, per un totale di 12 ore, che verranno svolte in aula come lezione frontale.

Durante il corso vi sarà un momento in cui verranno assegnati dei casi di studio che dovranno essere discussi dagli studenti divisi in gruppi di 4-5 persone ciascuno.

Testi suggeriti
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Ivar Ekeland and Roger Témam, Convex Analysis and Variational Problems, Ed. SIAM (1987)

F.H. Clarke, Y.S. Ledyaev, Ronald J. Stern, P.R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory, Ed. Springer-Verlag New York Inc. (1998)

Frank H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Ed. SIAM (1990)

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
Ralph Tyrrell Rockafellar Convex Analysis Princeston University Press 1997 9780691015866
Ivar Ekeland and Roger Témam Convex Analysis and Variational Problems SIAM 1987 0-89871-450-8
F.H. Clarke, Y.S. Ledyaev, Ronald J. Stern, P.R. Wolenski Nonsmooth Analysis and Control Theory Springer-Verlag New York Inc. 1998 0387983368
Frank H. Clarke Optimization and Nonsmooth Analysis SIAM 1990 0-89871-256-4

Modalità d'esame

Modalità di valutazione
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L'esame consta di uno scritto e di un orale, che dovranno essere superati nella medesima sessione d'esame. Non vi sono modalità differenziate tra frequentanti e non.

Verranno effettuate inoltre una prima prova parziale a metà corso sulla prima parte di programma (fino al Calcolo delle Variazioni incluso) e una seconda prova parziale al termine dello stesso sulla parte rimanente del programma. Gli studenti che avranno superato entrambe le prove parziali saranno esonerati dallo scritto nella sessione di Febbraio e passeranno direttamente all'orale.

Al termine dell'orale verrà formulata una proposta di voto in trentesimi.

Contenuti delle prove e modalità di accertamento
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L'esame scritto consta di tre esercizi di uguale peso: i primi due (uno sulla prima parte del programma e uno sulla seconda parte del programma) riguarderanno la risoluzione di problemi specifici, mentre il terzo sarà composto da domande teoriche a risposta aperta su tutto il programma o su materiale assegnato agli studenti come studio autonomo.

Ciascuna delle prove in itinere sarà costituita da tre esercizi sulla relativa parte del programma: i primi due riguarderanno la risoluzione di problemi specifici e il terzo sarà composto da domande teoriche o su materiale assegnato agli studenti come studio autonomo. Lo studente dovrà svolgere obbligatoriamente il terzo esercizio e scegliere uno degli altri due.

L'esame orale verterà sull'intero programma svolto.

Obiettivi della prova di accertamento
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- Conoscenza e capacità di comprensione: una parte dello scritto e dell'orale sarà dedicata alla verifica della conoscenza e comprensione dei contenuti dell'insegnamento (terzo esercizio scritto e orale).

- Conoscenza e capacità di comprensione applicate: sia durante lo scritto che durante l'orale verrà chiesta la risoluzione di esercizi basati sui contenuti dell'insegnamento

- Autonomia di giudizio: durante gli esami potrà essere richiesta la risoluzione di esercizi che richiedono, oltre ai contenuti dell'insegnamento, un apporto personale del candidato sulla base del materiale studiato in autonomia.

- Abilità comunicative: sia in sede di scritto che di orale, verranno privilegiate risoluzioni di problemi espresse in modo completo, chiaro e coinciso.

- Capacità di apprendere: parte del materiale del corso farà riferimento a testi o articoli che lo studente sarà chiamato ad affrontare autonomamente.





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