Laurea magistrale in Mathematics

Analytical mechanics

Codice insegnamento
4S001102
Docenti
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/07 - FISICA MATEMATICA
Lingua di erogazione
Inglese
Periodo
II semestre dal 2-mar-2020 al 12-giu-2020.

Orario lezioni

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Obiettivi formativi

Il corso è dedicato ad un approccio moderno e formale alla meccanica classica. Il principale obiettivo del corso consiste nell'introduzione di alcune tecniche di analisi globale e numerica, geometria differenziale e di sistemi dinamici al fine di formalizzare un modello di sistemi meccanici conservativi ad un numero finito di gradi di liberta`. Alla fine del corso uno studente dovrà essere in grado di costruire un modello di fenomeni fisici conservativi per sistemi ad un numero finito di gradi di liberta`, scrivere le equazioni del moto sia da un punto di vista Lagrangiano che Hamiltoniano e ricavare le principali proprieta` dinamiche del sistema.

Programma

• Introduzione. Il corso iniziera` con un rapido ripasso di alcune nozioni di base di sistemi dinamici usando pero` il moderno linguaggio della geometria differenziale: campi vettoriali su varieta`, flusso di un campo, coniugazione di flussi. Derivata di Lie, integrali primi, foliazioni invarianti e riduzione dell'ordine. Sistemi meccanici in dimensione 1.

• Meccanica Newtoniana. La struttura geometrica dello spazio tempo di Galileo e assiomi della meccanica classica. Sistemi di particelle ed equazioni cardinali della dinamica. Campi di forze conservative. Massa in un campo centrale e il sistema dei due corpi.

• Meccanica Lagrangiana su varieta`. Sistemi vincolati: il principio di d'Alembert e le equazioni di Lagrange. Invarianza delle equazioni di Lagrange per cambiamenti di coordinate. Integrale di Jacobi. Stabilita` nei sistemi Lagrangiani e piccole oscillazioni. Coordinate cicliche, Teorema di Noether, integrali primi e riduzione di Routh.

• Corpi rigidi. Il gruppo delle rotazioni e sua rappresentazione matriciale. Velocita` angolare e algebra di Lie del gruppo delle rotazioni. Sistema di riferimento nello spazio e nel corpo. Equazioni di Euler.

• Applicazioni: il pendolo di Foucault, il sistema di Kepler, la stabilizzazione magnetica.

• Varieta` simplettiche e dinamica Hamiltoniana. Equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson. Teorema di Noether in ambiente Hamiltoniano.

Alcuni aspetti numerici verranno analizzati durante il corso. Il corso sara` anche accompagnato da seminari introduttivi alla meccanica geometrica, alla teoria geometrica del controllo con applicazioni robotiche e alla chirurgia robotica.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
A. Fasano and S. Marmi Analytical Mechanics: an Introduction. Oxford University Press 2006
D.D. Holm, T. Schmah and C. Stoica Geometric Mechanics and Symmetry: From Finite to Infinite Dimensions (Edizione 1) Oxford University Press 2009
N. Sansonetto Notes for the course of Analytical Mechanics 2019

Modalità d'esame

Per superare l'esame gli studenti devono dimostrare di:
- conoscere e aver compreso i concetti fondamentali della meccanica Newtoniana, Lagrangiana ed Hamiltoniana
- avere un'adeguata capacità di risolvere problemi, sia da un punto di
vista teorico che computazionale.
- saper argomentare i loro ragionamenti con rigore matematico.

L'esame e` composto da una prova scritta ed una prova orale. Il superamento
della prova scritta da` l'accesso alla prova orale.
L'esame scritto richiede la soluzione di problemi, mentre l'esame orale e'
basato su domande a risposta aperta e su una discussione dello scritto.
In caso di esito positivo, il voto della prova scritto sara' valido fino
all'ultimo appello disponibile nell'anno accademico in corso (Febbraio 2021).

L'esame sara` superato quando saranno superate con voto almeno pari a 18/30 (e lode)
e il voto complessivo sarà dato dalla media aritmetica del risultato in trentesimi di scritto e orale.







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