Laurea magistrale in Mathematics

Partial differential equations

Codice insegnamento
4S001097
Docente
Virginia Agostiniani
Coordinatore
Virginia Agostiniani
crediti
6
Settore disciplinare
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Lingua di erogazione
Inglese
Periodo
II semestre dal 2-mar-2020 al 12-giu-2020.

Orario lezioni

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Obiettivi formativi

Il corso fornisce una carrellata sugli aspetti teorici delle più importanti equazioni alle derivate parziali che nascono come modelli dei principali fenomeni in fisica, biologia, scienze economico sociali ed in data analysis, quali diffusione, trasporto, reazione, concentrazione, propagazione delle onde. Sarà posta enfasi particolare sulla buona positura (esistenza, unicità e stabilità in dipendenza dai dati) . Inoltre, gli aspetti teorici saranno affrontati in connessione con I metodi di approssimazione numerica (ad esempio il metodo di Galerking per l’approssimazione finito dimensionale) che saranno studiati ed implementati nei corsi di Analisi Numerica.

Programma

Derivazione di alcune equazioni a derivate parziali da modelli.
Equazioni a derivate parziali del primo ordine: metodo delle caratteristiche, equazione eikonale. Soluzioni deboli: Legge di Conservazione scalare, introduzione al Calcolo delle Variazioni e all'equazione di Hamilton-Jacobi.
Equazioni a derivate parziali del secondo ordine lineari: classificazione.
Equazione di Laplace e di Poisson: soluzione fondamentale, funzioni armoniche, identità di Green, funzione di Green, formula di Poisson per la palla, stime gradiente, teorema di Liouville.
Equazioni ellittiche: principi di massimo, Lemma di Hopf. Teoremi di unicità. Teoremi di esistenza: soluzioni deboli via Teorema di Lax-Milgram e soluzioni classiche via metodo di Perron.
Introduzione all'equazione del calore e delle onde.
Equazioni del secondo ordine paraboliche e iperboliche: metodo di Galerkin, introduzione alla Teoria dei Semigruppi.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
Yehuda Pinchover, Jacob Rubinstein An Introduction to Partial Differential Equations Cambridge 2005
Qing Han, Fanghua Lin Elliptic Partial Differential Equations American Mathematical Society 2011
D. Gilbarg - N. S. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order Springer 1998 3-540-13025-X
Evans, L. C. Partial Differential Equations (Edizione 1) American Mathematical Society 1998 0821807722
András Vasy Partial Differential Equations - An Accessible Route through Theory and Applications American Mathematical Society 2015 978-1-4704-1881-6
S. Salsa Partial Differential Equations in Action Springer Verlag Italia 2008 978-88-470-0751-2

Modalità d'esame

L'esame consisterà in una prova orale basata su tutti gli argomenti trattati a lezioni. In particolare, l'esame consisterà di tre steps: nel primo step si richiederà di riportare in dettaglio un risultato selezionato in modo casuale da una lista di risultati precedentemente concordata. Solo se lo studente avrà passato questo step sarà ammesso al secondo, basato su una discussione generale su temi del programma. Nel terzo e ultimo step verrà chiesto un argomento a piacere.
Lo studente verrà valutato in base al grado di profondità con cui mostrerà di aver appreso le idee principali del corso e in base a quanto saprà dominare gli strumenti matematici e le tecniche proposte durante il corso.





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